这个是一篇远古时代写的博文，当时学校刚学 C 语言，用来计算了一个数学建模中的背包问题。这篇文章是从我的其它博客中搬过来凑数的 :)

背包问题

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V？（摘自百度百科）
对于背包问题分为以下三类：

一、01背包

01背包即每种物品的数量为1，可以选择放或者不放，这可以转化为二进制中的0和1，而C语言代码对于0和1的枚举是极其方便的，因为他的时间复杂度为 O(2^n)。对于常规的背包问题涉及的物品不会特别多，6个以下的问题纯手算都可以轻松解决，而当今的计算机运算速度都非常快，一般15个物品循环6W多次只要0.8秒左右的时间。单纯的枚举不需要考虑很多方面的因素，而在设定了限制条件之后，可以转化成隐枚举的方法缩短运行时间。

对于01背包的C语言思路：

  1. 建立一个item结构体储存每个物品的质量和价值。
  2. 定义一个数组储存倒序的二进制排列数。为什么是倒序的呢？因为十进制数转化为二进制的算法计算出来的二进制是倒序排列的，而倒序恰好也符合了人的思维模式，即从取第一个物品开始（10）而不是最后一个（01）。
  3. 输入各项数据，根据算法的复杂度 O(2^n)开始循环，一共产生 2^n种排列，对于每种排列计算出该方案的总重量和总价值。
  4. 设置重量条件，符合限制条件后比较总价值与最高价值，保留最大值。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

struct Item {
    int Weight;
    int Value;
}item[100];

int main(void) {
    int Boo[40000][16]={0};                  //储存排列，注意空间
    int TotalWeight, TotalValue;
    int Number, Capacity, MaxValue = 0;        //初始化最高价值
    int i, n, k, j = -1;
    printf("Total number of the items:");
    scanf("%d",&Number);
    printf("Input each item's Weight:");
    for ( i=0; i<Number; i++) {
        scanf("%d",&item[i].Weight);
    }
    printf("Input each item's Value:");
    for ( i=0; i<Number; i++) {
        scanf("%d",&item[i].Value);
    }
    printf("Input your backpack's capacity:");
    scanf("%d",&Capacity);
    for ( n=1; n<pow(2, Number); n++) {        //十进制转二进制的算法倒序储存数据
        i = 0;
        k = n;
        while ( k>0 ) {
            Boo[n][i] = k%2;
            i += 1;
            k /= 2;
        }
    }
    k = n;
    for ( n=0; n<k; n++) {
        TotalWeight = 0;
        TotalValue = 0;
        for ( i=0; i<Number; i++) {
            TotalWeight += item[i].Weight * Boo[n][i];
            if ( TotalWeight <= Capacity ) {
                TotalValue += item[i].Value * Boo[n][i];
                if ( TotalValue >= MaxValue) {
                    MaxValue = TotalValue;
                    j = n;
                }
            }
        }
    }
    if ( j == -1 ) {
        printf("No solution!\n");
    }
    else {
        printf("The roots areecharts :");
        for ( i=0; i<Number; i++) {
            printf("%d ",Boo[j][i]);        //输出最优解
        }
    }
    printf("\nThe max value ismermaid :%d\n",MaxValue);
    return 0;
}

大致就是如此，其实这个程序还有缺陷，第一个就是数组储存在栈中，只可以计算16个以下的物品数，当然电脑不同可能有所差异。所以如果想计算足够多的物品，切记要使用 malloc 把数据存储在堆中。
第二个问题就是它仅能处理01问题，对于其他背包问题就无力解决啦，毕竟一旦物品数量设定为k值，复杂度就提升到了 O((k+1)^n)，恐怕不是超级计算机的话是难以解决这类问题了。

后来我把01背包问题使用 Lingo 进行了求解，由于 Lingo 是专业求解线性和非线性优化问题的软件，属于黑箱模式，我们只需要把题目的条件输入程序就会自动求解，所以代码相当少。唯一的缺点就是对不同题目需要修改代码中的数据，不能像 C 一样读取用户输入的数据进行操作。

代码如下：

model: 
sets:
a/1..7/: Weight, Value, Capacity ;        //设置 n 个同类元素集合
endsets
data :
Weight = 31 10 20 19 4 3 6;
Value = 70 20 39 37 7 5 10;
enddata
max = @sum(a :Value*Capacity) ;
@sum(a : Weight*Capacity) <= 50 ;        //总重量不超过50的背包
@for(a:@bin(Capacity)) ;
end

二、完全背包

在完全背包问题中，所有的物品都有无限次数可用。显而易见的是在这种情况下背包中存放质价比最高的物品最划算，但是最后一件物品并不见得能塞得下这个背包，于是需要挑出这件物品放入质价比较前者低同时质量也较轻的物品。总之，我们要利用乌鸦喝水的思路尽可能多地塞满（不一定能满）背包，并且使总价值最高。

对于完全背包的Matlab思路：
建立动态规划表，例如一个背包容量为5的表格

itemweightvalue012345
a27037111418
b13036111417
c311000111111
我们令 W i 表示物品质量，V i 表示物品价值

循环阶段：
$i = 1,2,3$
第 i 阶段检查第 i 个物品

状态变量：
$S_i$
$i= 1,2,3$
检查 i 物品时的剩余空间

决策变量：
$X_i$
$i=1,2,3$
第 i 个物品装入量

状态转移方程：
$S_{i+1}=S_i - W_iX_i$
最优值函数：
$f(S_i)$
最优值函数转移方程：
${f(S_i)\over{W_iX_i \leq S_i}}={V_iX_i+f(S_i+1) \quad i=1,2 \over V_iX_i \quad \quad \quad \quad \quad \ i=3}$
这样一来就可以对方程求解了，但是需要逆推，下面的工作全部交给我们的Matlab处理即可。

代码如下：

function Knapsack_Question_Fun(n,Capacity,Weight,Value)  
f=zeros(n,Capacity+1);x=zeros(n,Capacity+1);xx=zeros(n,1);
for i=n:-1:1
    for S=0:Capacity
        if i==7
            f(i,S+1)=Value(i)*floor(S/Weight(i));
            x(i,S+1)=floor(S/Weight(i));
        else
            xMax=floor(S/Weight(i));
            ff=zeros(xMax+1,1);
            for k=0:xMax
                ff(k+1)=Value(i)*k+f(i+1,S-Weight(i)*k+1);
            end
            [f(i,S+1),index]=max(ff);
            x(i,S+1)=index-1;
        end
    end
end
[optValue,index]=max(f(1,:));
xx(1)=x(1,index);
tempS=index;
fprintf('optimal solution:%d\n',optValue);
for i=2:7
    xx(i)=x(i,tempS-Weight(i-1)*xx(i-1));
    tempS=tempS-Weight(i-1)*xx(i-1);
end
for i=1:n
    fprintf('put %d item%d in the bag\n',xx(i),i);
end

end

上面这个是函数文件，我们还需要将数据输入在 Excel 表格中，然后使用以下脚本读取并调用函数：

n = input('Total number of the items:'); //输入物品数量
strn = n;
W = 'a2:a';     V = 'b2:b';
strn = num2str(strn+1);                     //将数量转换成最后一个单元格的代号
W = [W strn];   V = [V strn];             //生成读取范围
Weight   = xlsread('BQVar.xlsx',W);
Value    = xlsread('BQVar.xlsx',V);
Capacity = xlsread('BQVar.xlsx','c2mermaid :c2');
Weight';Value';                             //转置成行向量
Knapsack_Question_Fun(n,Capacity,Weight,Value)

以下为 Excel 中的填写格式：

开始比较难，但是完成之后就可以直接套用模板求解背包问题了，照着图中的方式填写条件即可，非常方便！

三、多重背包

多重背包是01背包和完全背包的中间形态，每一种物品的数量有 1-k 个，所以对于每种物品其可取值为 0-k 个。多重背包问题即是在完全背包问题的基础上添加了多个限制条件，具体代码就不给大家了，直接对完全背包中 Matlab 的代码进行修改即可。

其实解这一类问题还有一种方法，那就是将其转化为01背包问题：把第 i 种物品换成 n 件01背包中的物品，则得到了物品数为 ∑n的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是 O(V*∑n）。如果想让它像01背包一样能够使用二进制算法，就要考虑把第 i 种物品换成若干件物品，使得原问题中第 i 种物品可取的每种策略均能等价于取若干件代换以后的物品，并且不能使取超过 n 件的策略出现。例如取 1,2,4 三种数量级，一件物品有 12 件，那么这件物品可取件数是 1,2,4,5 ，然后将其质量和价值也乘以对应系数，将时间复杂度降低到了 O(V*∑log n。此处也是抛砖引玉，大家可以去尝试一下，但我个人而言还是比较相信计算机的处理能力，原始的方法复杂度高但是对计算机而言还是分分钟就能解决的问题。

总结

小小的背包问题，在运筹学、密码学等领域有着大大的作用。背包问题的算法多种多样，大家各取所需吧。我作为一名初学者，Matlab 和 Lingo 代码写得并不好，欢迎大家指教，之后如果有更好的想法和代码我会及时补充。

最后修改：2020 年 07 月 30 日
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